系统，控制与应用数学
Laplace 变换
控制系统（现代部分）
控制系统的基本单元
比例环节 \[G(s) = k_p\]
惯性环节 \[G(s) = \frac{1}{Ts+1}\] \(h(t) = 1-e^{-\frac{t}{T}}\) 单位阶跃响应为指数曲线
二阶震荡环节 \[G(s) = \frac{1}{T^2s^2+2\xi Ts+1}\] \(T\) 为时间常数，\(\xi\) 为阻尼系数
\(s_1,2 = -\frac{\xi}{T} \pm \frac{\sqrt{\xi^2-1}}{T}\)
- \(\xi = 0\) 无阻尼，无衰减振荡，一对纯虚根
- \(0<\xi<1\) 欠阻尼，衰减振荡，一对共轭复根
- \(\xi = 1\) 临界阻尼，单调衰减，相等负实根
- \(\xi > 1\) 过阻尼，无振荡，两个不相等的实根
积分环节 \[G(s) = \frac{k_i}{s}\]
延迟环节 \[G(s) = e^{-\tau s}\]
微分环节 \[G(s) = k_d s\] \[G(s) = Ts+1\] \[G(s) = T^2s^2+2\xi Ts+1\]
状态空间
\[\begin{cases} \dot{x} = Ax+Bu \\ y = Cx(+Du) \end{cases}\]
- \(x(t)\) 为状态向量，\(u(t)\) 为输入向量，\(y(t)\) 为输出向量
- 状态变量个数等于系统独立储能元件个数，即系统阶数
- 状态方程\(\dot{x} = Ax+Bu\) 描述系统状态变量的变化，输出方程\(y = Cx+Du\) 描述系统输出与状态变量的关系
传递函数阵
对状态方程和输出方程进行拉普拉斯变换
\[\begin{cases} X(s) = (sI-A)^{-1}BU(s) \\ Y(s) = C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s) \end{cases}\]
得到传递函数阵
\[G(s) = C(sI-A)^{-1}B+D\]
组合系统传递函数阵
- 并联：\(G(s) = G_1(s)+G_2(s)\)
- 串联：\(G(s) = G_2(s)G_1(s)\)（注意顺序）
- 反馈：\(G(s) = G_1(s)\cdot[I+G_2(s)G_1(s)]^{-1}\)
状态空间的实现
本质是找状态变量
- 串并联分解至最小单元（积分单元），系统框图-->状态方程
- 部分分式分解（留数分解），得Jordan标准型
- 基于积分器串联+常值反馈，得到能控、能观标准型，二者互为对偶
标准型
能控标准型，能观标准型
对角标准型，Jordan标准型
系统的等价变换
对于系统[1]
\[\begin{cases} \dot{x} = Ax+Bu \\ y = Cx+Du \end{cases}\]
进行坐标线性变换\(x = Tz\)或\(z = T^{-1}x\)，得到新的状态方程
\[\begin{cases} \dot{z} = T^{-1}ATz+T^{-1}Bu \\ y = CTz+Du \end{cases}\]
令
\[\begin{cases} A' = T^{-1}AT ,\ B' = T^{-1}B \\ C' = CT ,\ D' = D\\ \end{cases}\]
则新的状态方程[2]为
\[\begin{cases} \dot{z} = A'z+B'u \\ y = C'z+D'u \end{cases}\]
[1]和[2]在代数上等价
系统特征值（状态矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)， \(|\lambda I-A| = 0\)）、特征多项式、传递函数阵在等价系统中具有相同形式
特征向量：\(AP_i = \lambda_iP_i\)，\(P_i\)为矩阵\(A\)的对应于特征值\(\lambda_i\)的特征向量
状态空间表达式变换为标准型
- 矩阵有两两相异特征值，可通过\(z = T^{-1}x\)变换为对角型，\(T = [P_1,P_2,\cdots,P_n]\)特征向量矩阵
- 矩阵有重特征值，仍可迭代计算求出能变换为Jordan标准型的特征向量矩阵\(T\)，从而变换为Jordan标准型
线性系统状态方程的解（时域分析）
矩阵指数：\(\phi(t) = e^{At}\)
- 定义式：\(e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \cdots\) = _{k=0}^{} $
- 反Laplace变换：\(e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\{[sI-A]^{-1}\}\)
线性连续定常系统状态方程\(\dot{x} = Ax+Bu\)的解：
\(x(t) = e^{At}x(0)+\int_0^t e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau\),
- 自由解\(x_f(t) = e^{At}x(0)\)，为初始时刻状态向量到\(t\)时刻的状态向量的变换，矩阵指数\(e^{At}\)为状态转移矩阵
- 强迫解\(x_p(t) = \int_0^t e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau\)，从时域上看为状态转移矩阵\(e^{At}\)与输入信号\(Bu(t)\)的卷积
- 可通过Laplace变换，两边从变换域解方程：\(x(s) = [sI-A]^{-1}x(0)+[sI-A]^{-1}Bu(s)\)
状态转移矩阵的性质
- 大多数直接用级数展开定义式推导即可，很符合直觉
- 对角标准型、Jordan型可变换