系统，控制与应用数学

Laplace 变换

控制系统（现代部分）

控制系统的基本单元

1. 比例环节 $$G(s)=k_p$$

2. 惯性环节 $$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$$ $h(t)=1-e^{-\frac{t}{T}}$ 单位阶跃响应为指数曲线

3. 二阶震荡环节 $$G(s)=\frac{1}{T^2{s}^2+2\xi Ts+1}$$ $T$ 为时间常数，$\xi$ 为阻尼系数

   $s_1,2=-\frac{\xi }{T}\pm \frac{\sqrt{{\xi }^2-1}}{T}$

   • $\xi =0$ 无阻尼，无衰减振荡，一对纯虚根
   • $0<\xi <1$ 欠阻尼，衰减振荡，一对共轭复根
   • $\xi =1$ 临界阻尼，单调衰减，相等负实根
   • $\xi >1$ 过阻尼，无振荡，两个不相等的实根

4. 积分环节 $$G(s)=\frac{k_i}{s}$$

5. 延迟环节 $$G(s)=e^{-\tau s}$$

6. 微分环节 $$G(s)=k_{d}s$$ $$G(s)=Ts+1$$ $$G(s)=T^2{s}^2+2\xi Ts+1$$

状态空间

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx(+Du)\end{array}$$

• $x(t)$ 为状态向量，$u(t)$ 为输入向量，$y(t)$ 为输出向量
• 状态变量个数等于系统独立储能元件个数，即系统阶数
• 状态方程$\dot{x}=Ax+Bu$ 描述系统状态变量的变化，输出方程$y=Cx+Du$ 描述系统输出与状态变量的关系

传递函数阵

对状态方程和输出方程进行拉普拉斯变换

$$\{\begin{array}{l}X(s)=(sI-A{)}^{-1}BU(s)\\ Y(s)=C(sI-A{)}^{-1}BU(s)+DU(s)\end{array}$$

得到传递函数阵

$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$$

组合系统传递函数阵

• 并联：$G(s)=G_1(s)+G_2(s)$
• 串联：$G(s)=G_2(s)G_1(s)$（注意顺序）
• 反馈：$G(s)=G_1(s)\cdot [I+G_2(s)G_1(s){]}^{-1}$

状态空间的实现

本质是找状态变量

1. 串并联分解至最小单元（积分单元），系统框图-->状态方程
2. 部分分式分解（留数分解），得Jordan标准型
3. 基于积分器串联+常值反馈，得到能控、能观标准型，二者互为对偶

标准型

能控标准型，能观标准型

对角标准型，Jordan标准型

系统的等价变换

对于系统[1]

$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

进行坐标线性变换$x=Tz$或$z=T^{-1}x$，得到新的状态方程

$$\{\begin{array}{l}\dot{z}=T^{-1}ATz+T^{-1}Bu\\ y=CTz+Du\end{array}$$

令

$$\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }=T^{-1}AT,B^{\prime }=T^{-1}B\\ C^{\prime }=CT,D^{\prime }=D\end{array}$$

则新的状态方程[2]为

$$\{\begin{array}{l}\dot{z}=A^{\prime }z+B^{\prime }u\\ y=C^{\prime }z+D^{\prime }u\end{array}$$

[1]和[2]在代数上等价

系统特征值（状态矩阵$A$的特征值$\lambda$， $|\lambda I-A|=0$）、特征多项式、传递函数阵在等价系统中具有相同形式

特征向量：$A{P}_i={\lambda }_i{P}_i$，$P_i$为矩阵$A$的对应于特征值${\lambda }_i$的特征向量

状态空间表达式变换为标准型

• 矩阵有两两相异特征值，可通过$z=T^{-1}x$变换为对角型，$T=[P_1,P_2,\cdots ,P_n]$特征向量矩阵
• 矩阵有重特征值，仍可迭代计算求出能变换为Jordan标准型的特征向量矩阵$T$，从而变换为Jordan标准型

线性系统状态方程的解（时域分析）

矩阵指数：$\varphi (t)=e^{At}$

• 定义式：$e^{At}=I+At+\frac{A^2{t}^2}{2!}+\cdots$ = _{k=0}^{} $
• 反Laplace变换：$e^{At}={\mathcal{L}}^{-1}\{[sI-A{]}^{-1}\}$

线性连续定常系统状态方程$\dot{x}=Ax+Bu$的解：

$x(t)=e^{At}x(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$,

• 自由解$x_f(t)=e^{At}x(0)$，为初始时刻状态向量到$t$时刻的状态向量的变换，矩阵指数$e^{At}$为状态转移矩阵
• 强迫解$x_p(t)={\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$，从时域上看为状态转移矩阵$e^{At}$与输入信号$Bu(t)$的卷积
• 可通过Laplace变换，两边从变换域解方程：$x(s)=[sI-A{]}^{-1}x(0)+[sI-A{]}^{-1}Bu(s)$

状态转移矩阵的性质

• 大多数直接用级数展开定义式推导即可，很符合直觉
• 对角标准型、Jordan型可变换

控制系统（经典部分）

时域分析

频域分析

系统校正