傅里叶光学导论

TOP 发表于 2024-02-01 更新于 2025-01-15 Waline：

《傅里叶光学导论》笔记

尽量系统地整理一下有用的知识点和我自己的idea，希望未来有一天对翻开这本书的后辈们有所帮助。不过虽然做过一些工程，我本人对理论的了解仅限于大学的信号与系统课程，因此基本上从一维时频分析的角度去理解。

二维信号与系统分析

二维傅里叶分析

一维傅里叶变换

\[\mathcal{F}\{g\}=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\exp[-\mathrm{j}2\pi f x]\mathrm{d}x\]

\[\mathcal{F}^{-1}\{G\}=\int_{-\infty}^{\infty}G(f)\exp[\mathrm{j}2\pi f x]\mathrm{d}f\]

二维傅里叶变换

\[\mathcal{F}\{g\}=\iint_{-\infty}^{\infty}g(x,y)\exp[-\mathrm{j}2\pi(f_Xx+f_Yy)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\]

\[\mathcal{F}^{-1}\{G\}=\iint_{-\infty}^{\infty}G(f_X,f_Y)\exp[\mathrm{j}2\pi(f_Xx+f_Yy)]\mathrm{d}f_X\mathrm{d}f_Y\]

$\delta$函数

\[\delta(t)=\begin{cases}\infty, & t=0\\0, & t\neq0\end{cases}\]

例子

性质

线性： \[\mathcal{F} \{ ag_1+bg_2 \}=a\mathcal{F}\{g_1\}+b\mathcal{F}\{g_2\}\]
相似性： \[\mathcal{F}\{g(ax,by)\}=\frac{1}{|ab|}\mathcal{F}\{g\}(\frac{f_X}{a},\frac{f_Y}{b})\]
相移： \[\mathcal{F}\{g(x-a,y-b)\}=\exp[-\mathrm{j}2\pi(af_X+bf_Y)]\mathcal{F}\{g\}\]
Parseval定理：

\[\iint_{-\infty}^{\infty}|g(x,y)|^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{-\infty}^{\infty}|G(f_X,f_Y)|^2\mathrm{d}f_X\mathrm{d}f_Y\]
卷积定理： \[\mathcal{F}\{g_1*g_2\}=\mathcal{F}\{g_1\}\cdot\mathcal{F}\{g_2\}\]
自相关定理： \[\mathcal{F}\{g*g\}=|\mathcal{F}\{g\}|^2\]
转动定理： $\mathcal{F}\{g(r,\theta)\}=G(\rho,\phi)$, 在空间上旋转$\theta_0$角度，

$\mathcal{F}\{g(xcos\theta -ysin\theta, xsin\theta+ycos\theta)\}=G(f_Xcos\theta-f_Ysin\theta, f_Xsin\theta+f_Ycos\theta)$
剪切定理： \[\mathcal{F} \{ g(x+ay,y+bx) \} = G(f_X-bf_Y, f_Y-af_X)\]
- 空域中的水平剪切引起频域中的竖直剪切
- 空域中的竖直剪切引起频域中的水平剪切
傅里叶积分定理：在$g$的每个连续点上，

\[\mathcal{F}\mathcal{F^{-1}}\{g(x,y)\}=\mathcal{F^{-1}}\mathcal{F}\{g(x,y)\}=g(x,y)\]

可分离变量的函数

若 $g(x,y)=g_X(x)g_Y(y)$ ，则函数 $g(x,y)$ 是可分离变量的函数，极坐标$(r,\theta)$中同理。

性质

傅里叶变换是两个一维傅里叶变换的乘积： \[\mathcal{F}\{g(x,y)\}=\mathcal{F}\{g_X(x)g_Y(y)\}=\mathcal{F_X}\{g_X(x)\}\cdot\mathcal{F_{Y}}\{g_Y(y)\}\]

极坐标系中同理。

具有圆对称性的函数：傅里叶-贝塞尔变换

函数 $g$ 具有圆对称性：$g(r,\theta)=g_R(r)$。

大部分光学系统具有圆对称性

圆对称函数的傅里叶变换称为傅里叶-贝塞尔变换： \[G_0(\rho,\phi)=G_o(\rho) = 2\pi\int_0^{\infty}rg_R(r)J_0(2\pi r\rho)\mathrm{d}r\]

其中$J_0$是零阶贝塞尔函数。

圆对称函数的傅里叶逆变换： \[g_R(r)={2\pi}\int_0^{\infty}\rho G_0(\rho)J_0(2\pi\rho r)\mathrm{d}\rho\]

对于圆对称函数，变换和逆变换是相同的。

性质

在$g_R(r)$的每个连续点上， \[\mathcal{B}\mathcal{B^{-1}}\{g_R(r)\}=\mathcal{B^{-1}}\mathcal{B}\{g_R(r)\}=\mathcal{B}\mathcal{B}\{g_R(r)\} = g_R(r)\]
相似性：$\mathcal{B} \{ g_R(ar) \} = \frac{1}{a^2}G_0(\frac{\rho}{a})$

常用函数和傅里叶变换对

矩形函数

\[rect(x) = \begin{cases}1, & |x|<\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}, & |x|=\frac{1}{2}\\0, & |x|>\frac{1}{2}\end{cases}\]

sinc函数

\[sinc(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\]

符号函数

\[sgn(x)=\begin{cases}1, & x>0\\0, & x=0\\-1, & x<0\end{cases}\]

三角形函数

\[tri(x)=\begin{cases}1-|x|, & |x|<1\\0, & |x|>1\end{cases}\]

梳状函数

\[comb(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-n)\]

圆域函数

\[circ\sqrt{x^2+y^2}=\begin{cases}1, & \sqrt{x^2+y^2}<1\\\frac{1}{2}, & \sqrt{x^2+y^2}=1\\0, & \sqrt{x^2+y^2}>1\end{cases}\]

空间频率和空间频率局域化

局域空间频率

\[g(x,y) = a(x,y) exp[\mathrm{j}\phi(x,y)]\]

其中$a(x,y)$是幅度函数，$\phi(x,y)$是相位函数。

定义函数$g$的局域空间频率$(f_X^{(l)},f_Y^{(l)})$为：

$\begin{cases}f_X^{(l)}(x,y)=\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial x}\phi(x,y) \\ f_Y^{(l)}(x,y)=\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial y}\phi(x,y)\end{cases}$

或矢量记号：$\vec{f}^{(\ell)}=\frac{1}{2\pi}\nabla\phi(\vec{x})$

从而定义一个局域空间频率，

依赖于空间的周期 \[P(x,y)=\frac{1}{\sqrt{f_X^{(l)2}+f_Y^{(l)2}}}\]
与x轴的夹角 \[\phi(x,y)=\arctan\frac{f_Y^{(l)}}{f_X^{(l)}}\]

维格纳分布

一个函数$g(x,y)$的局域空间频率分布称为维格纳分布，定义为： \[W_g(x,y;f_X,f_Y)=\iint_{-\infty}^{\infty}g(x+\frac{\Delta x}{2},y+\frac{\Delta y}{2})g^*(x-\frac{\Delta x}{2},y-\frac{\Delta y}{2})\exp[-j2\pi(f_X\Delta x+f_Y\Delta y)]\mathrm{d}\Delta x\mathrm{d}\Delta y\]

将 $g$ 和 $g^*$ 的傅里叶变换分别记为 $G(f_X,f_Y)$ 和 $G^*(f_X,f_Y)$，则维格纳分布可以表示为：

\[W_g(x,y;f_X,f_Y)=\iint_{-\infty}^{\infty}G(f_X+\frac{\Delta f_X}{2},f_Y+\frac{\Delta f_Y}{2})G^*(f_X-\frac{\Delta f_X}{2},f_Y-\frac{\Delta f_Y}{2})\exp[j2\pi(x\Delta f_X +y\Delta f_Y\Delta)]\mathrm{d}\Delta f_X\mathrm{d}\Delta f_Y\]

作为能量密度函数：

\[\iint_{- \infty}^{\infty} W_g(x,y;f_X,f_Y)df_Xdf_Y=|g(x,y)|^2\]

\[\iint_{-\infty}^{\infty} W_g(x,y;f_X,f_Y)dx dy=|G(f_X,f_Y)|^2\]

\[\iint\iint_{-\infty}^{\infty} W_g(x,y;f_X,f_Y)dx dy df_X df_Y=\iint_{-\infty}^{\infty}|g(x,y)|^2dx dy=\iint_{-\infty}^{\infty}|G(f_X,f_Y)|^2df_X df_Y\]

线性系统

电路网络：输入输出信号是一元（时间）独立的实值函数；

成像系统：输入和输出信号可以是二元（空间）独立的实值函数（光强），也可以是复值函数（光场）。

线性不变系统

线性时不变系统：一个系统的脉冲响应$h(t, \tau)$（即在$t$时刻对作用于$\tau$时刻的脉冲的响应）只依赖于时间差$t-\tau$。
空间不变系统（等晕系统）：一个系统的脉冲响应$h(x,y, \xi, \eta)$（即在$(x,y)$时刻对作用于$(\xi, \eta)$时刻的脉冲的响应）只依赖于距离$(x-\xi, y-\eta)$，即$h(x,y, \xi, \eta)=h(x-\xi, y-\eta)$。

对于不变系统，叠加积分可简化为卷积积分：

\[g_2(x,y)=\iint_{-\infty}^{\infty}g_1(\xi, \eta)h(x-\xi, y-\eta)\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\]

即 \[g_2=g_1*h\]

对上式两边进行傅里叶变换，再将简单计算得到的左式进行逆变换，从而降低计算复杂度。 \[G_2(f_X, f_Y)=G_1(f_X, f_Y)H(f_X, f_Y)\] 其中$H$是系统的传递函数，表示系统在频率域的响应（只适用于线性不变系统）。

二维抽样理论

Whittlaker-Shannon抽样定理

间隔合适的矩形阵列上的抽样值，可以完全精确地复原一个限带函数 - 二维情况： \[g(x,y)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}g(\frac{n}{B_X}, \frac{m}{B_Y})\cdot sinc[B_X(x-\frac{n}{B_X})]sinc[B_Y(y-\frac{m}{B_Y})]\]

过抽样、欠抽样和频谱混淆

奈奎斯特密度：对于一个有限带宽的信号，允许信号复原的最小抽样密度（临界抽样密度）。
过抽样：以高于奈奎斯特密度的抽样密度进行抽样，保证频率岛不重叠
欠抽样：以低于奈奎斯特密度的抽样密度进行抽样，导致频率岛重叠，无法复原原始信号。若在频谱中只有孤立的零点，欠抽样是不可避免的

空间-带宽积

带宽：信号的频率范围

空间带宽积：一个信号的空间带宽积是指信号的空间频率和频率的乘积。 \[N = L_X\cdot L_Y\cdot B_X\cdot B_Y\]

离散傅里叶变换

利用抽样数据，得到离散傅里叶变换（DFT）： \[\tilde{G}_{p,q}=DFT\{\tilde{g}_{n,m}\} = \sum_{n=0}^{N_X-1}\sum_{m=0}^{N_Y-1}\tilde{g}_{n,m}\exp\left[-\mathrm{j}2\pi\left(\frac{np}{N_X}+\frac{mq}{N_Y}\right)\right]\]

逆变换：

\[\tilde{g}_{n,m}=DFT^{-1}\{\tilde{G}_{p,q}\} = \frac{1}{N_XN_Y}\sum_{p=0}^{N_X-1}\sum_{q=0}^{N_Y-1}\tilde{G}_{p,q}\exp\left[\mathrm{j}2\pi\left(\frac{np}{N_X}+\frac{mq}{N_Y}\right)\right]\]

可用快速傅里叶变换（FFT）算法进行计算，复杂度为$O(N\log N)$。

片投影定理

二维函数$g(x,y)$在过原点且与x轴夹角为$\theta$的直线上的投影为 \[p_{\theta}(x')=\int_{-\infty}^{\infty}g(x'cos\theta-y'sin\theta, x'sin\theta+y'cos\theta)\mathrm{d}y'\]

投影在x'轴上，y'轴垂直于x'轴，其中

$x'=x\cos\theta+y\sin\theta$,

$y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$

投影定理：投影 $p_{\theta}(x')$ 的傅里叶变换 $P_{\theta}(f)$ 等同于函数 $g(x,y)$ 的傅里叶变换 $G(f_X, f_Y)$ 沿着过原点且与$f_X$轴夹角为$\theta$的直线的切片： \[P_{\theta}(f)=G(f\cos\theta, f\sin\theta)\]

标量衍射理论基础

讨论衍射时，衍射物的结构比光波波长大得多，因此可以用标量波动方程来描述光波的传播（矢量近似为标量）。

数学预备知识

亥姆霍兹方程

对于单色波，用标量场$u(P,t)$描述在P点、t时刻的波动， \[u(P,t)=Re\{A(P)\exp[\mathrm{j}(-2\pi \nu t+\phi(P))]\}\]

其中$A(P)$是振幅，$\phi(P)$是相位，$\nu$是光的频率。

标量波动方程： \[\nabla^2u-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=0\]

$\nabla^2$是拉普拉斯算子，$n$是介质折射率，$c$是光速。

结合两式得到亥姆霍兹方程： \[(\nabla^2+k^2)u=0\]

其中$k=2\pi n \frac{\nu}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$是波数。

假定任何电介质中传播的单色光扰动的复振幅都遵从亥姆霍兹方程。

格林定理

格林定理：对于任意两个函数$U(P)$和$V(P)$，在有限区域内的体积分可以转化为体积分和边界积分的和： \[\iiint_V\left(U\nabla^2V-V\nabla^2U\right)\mathrm{d}v=\oint_S\left(U\frac{\partial V}{\partial n}-V\frac{\partial U}{\partial n}\right)\mathrm{d}s\]

其中$S$是体积$V$的边界，$\frac{\partial}{\partial n}$是沿着边界的外法线方向的梯度。

亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理

基尔霍夫的衍射理论建立在一个积分定理的基础上，这个积分定理把齐次波动方程在任意一点的解用包围这一点的任意闭合曲面上的解及其一阶导数的值来表示。

选定辅助函数（由$P_0$点向外发散的单位振幅的球面波，自由空间格林函数） \[G(P_1) = \frac{\exp(\mathrm{j}kr_{01})}{r_{01}}\]

积分体积$V'$为介于$S$和$S_{\epsilon}$之间的体积，积分曲面是复合曲面$S' = S + S_{\epsilon}$

结合亥姆霍兹方程&格林定理，可得亥姆霍兹和基尔霍夫的积分定理：

\[U(P_{0})=\frac1{4\pi}\iint_{S}\left\{\frac{\partial U}{\partial n}\left[\frac{\exp(\mathrm{j}kr_{01})}{r_{01}}\right]-U\frac\partial{\partial n}\left[\frac{\exp(\mathrm{j}kr_{01})}{r_{01}}\right]\right\}\mathrm{d}s\]

从而使任意一点的场可以用波在包围这一点的任意闭合曲面上的“边值”表示。

平面屏幕衍射的基尔霍夫公式

由一个发散的球面波照明时成立，菲涅耳-基尔霍夫衍射公式：

\[U(P_0)=\frac A{\mathrm{j}\lambda}\int\int_\Sigma\frac{\exp[\mathrm{j}k(r_{21}+r_{01})]}{r_{21}r_{01}}\left[\frac{\cos(\vec{n},\vec{r}_{01})-\cos(\vec{n},\vec{r}_{21})}2\right]\mathrm{d}s\]

将衍射公式改写成如下形式： $$ \[\begin{gathered} \begin{aligned}U(P_{0})=\iint_{\Sigma}\tilde{U}(P_{1})\frac{\exp(\mathrm{j}kr_{01})}{r_{01}}\mathrm{d}s,\end{aligned} \\ \tilde{U}(P_{1})=\frac{1}{\mathrm{j}\lambda}\left[\frac{A\operatorname{exp}(\mathrm{j}kr_{21})}{r_{21}}\right]\left[\frac{\operatorname{cos}(\vec{n},\vec{r}_{01})-\operatorname{cos}(\vec{n},\vec{r}_{21})}{2}\right] \end{gathered}\]

可以理解为：$P_0$的场是由位于孔径$\Sigma$内的无穷多个虚拟的“次级”点源产生的。次级波源具有确定的振幅和相位，表示为$\tilde{U}(P_1)$，与照明波前、照明方向和观察方向有关。

上述公式限于孔径由单个扩散球面波照明的情形，下面的瑞利-索末菲理论可以取消这一限制。

瑞利-索末菲衍射公式

索末菲消除了基尔霍夫衍射理论中同时对波动及其法向导数施加边界条件的不自洽性。

重新选择格林函数$G$，引入镜像对称点源$\tilde{P}_0$，波长同为$\lambda$，且相位差为180°，有 \[G_{-}(P_{1})=\frac{\exp(\mathrm{j}kr_{01})}{r_{01}}-\frac{\exp(\mathrm{j}k\tilde{r}_{01})}{\tilde{r}_{01}}\]

得到第一种瑞利-索末菲解： \[U_1\left(P_0\right)=\frac1{\text{j}\lambda}\iint_{\Sigma}U(P_1)\frac{\exp(\text{j}kr_{01})}{r_{01}}\cos(\vec{n},\vec{r}_{01})\mathrm{d}s\\r_{01}>>\lambda\]

使两点源同相振动，得到第二种瑞利-索末菲解： \[G_{+}(P_{1})=\frac{\exp(\text{j}kr_{\text{O}1})}{r_{01}}+\frac{\exp(\text{j}k\widetilde{r}_{\text{O}1})}{\widetilde{r}_{01}}\] \[U_{\Pi}\left(P_{0}\right)=-\frac{A}{\mathrm{j}\lambda}\int\int_{\Sigma}\frac{\exp[\mathrm{j}k(r_{21}+r_{01})]}{r_{21}r_{01}}\cos(\vec{n},\vec{r}_{21})\mathrm{d}s\\r_{21}>>\lambda\]

基尔霍夫理论和瑞利-索末菲理论的比较

在$\Sigma$面上， \[G_+ = 2G_K, \ \ \ \frac{\partial G_-}{\partial n} = \frac{\partial G_K}{\partial n}\]
基尔霍夫解是两种瑞利-索末菲解的算术平均。

定义倾斜因子$\psi$，将三种理论统一： \[U(P_{0})=\frac{A}{\text{j}\lambda}\iint_{\Sigma}\frac{\exp[\text{j}k(r_{21}+r_{01})]}{r_{21}r_{01}}\psi\text{d}s\]

其中 \[\left.\psi=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}[\cos(\vec{n},\vec{n}_{01})-\cos(\vec{n},\vec{r}_{21})],\text{基尔霍夫理论}\\\\\cos(\vec{n},\vec{r}_{01}),\text{第一种瑞利-索末菲理论}\\\\-\cos(\vec{n},\vec{r}_{21}),\text{第二种瑞利-索末菲理论}\end{array}\right.\right.\]

对于无限远处的点光源产生的正入射平面波， \[\left.\psi=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}[1+\cos\theta],\text{基尔霍夫理论}\\\\\cos\theta,\text{第一种瑞利-索末菲理论}\\\\1,\text{第二种瑞利-索末菲理论}\end{array}\right.\right.\]

惠更斯-菲涅耳原理的进一步讨论

第一种瑞利-索末菲解可以作为惠更斯-菲涅耳原理的数学表述： \[U(P_{0})=\frac1{\text{j}\lambda}\iint_{\Sigma}U(P_{1})\frac{\exp(\text{j}kr_{01})}{r_{01}}\cos \theta\text{d}s\]

将观察到的场$U(P_0)$表示为$\Sigma$面上各点$P_1$的次级波源发出的发散球面波的叠加。$P_1$点上的次级波源具有如下性质： - 复振幅与相应点上的原波振幅成正比 - 振幅与波长$\lambda$成反比 - 因子$1/\text{j}$表示次级波源的相位比原波相位超前$\pi/2$ - 每个次级波源有一个指向形式图样$\cos\theta$

惠更斯-菲涅耳原理的数学表示，本质上是叠加积分：把上式重写为 \[U(P_0)=\iint_{\Sigma}h(P_0,P_1)U(P_1)\mathrm{d}s\]

其中脉冲响应函数$h(P_0,P_1)$在近似解中给出： \[h(P_0,P_1)=\frac{1}{\text{j}\lambda}\frac{\exp(\mathrm{j}kr_{01})}{r_{01}}\cos\theta\]

推广到非单色波

利用傅里叶变换，可以将单色波的衍射综合出非单色波的衍射。 \[u(P_0,t)=\iint_{\Sigma}\frac{\cos(\vec{n},\vec{r}_{01})}{2\pi vr_{01}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\left(P_1,t-\frac{r_{01}}{v}\right)\mathrm{d}s\]

边界上的衍射

托马斯-杨：当光波通过一个有限孔径时，光波的边界会产生衍射，屏幕后的场由边界的衍射和直接透射的入射波叠加而成。

相较于惠更斯-菲涅耳原理，边界衍射更符合实际情况。

平面波的角谱

······

菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射

普遍理论的近似（菲涅耳近似、夫琅禾费近似）。用比较简单的数学运算来计算衍射图样。

背景

波场强度

利用功率表示波的强度 \[I(P)=|U(P)|^2\] 或非单色的窄带波 \[I(P)=\left\langle|u(P,t)|^2\right\rangle \]

计算衍射图样时，认为要求的量就是波的强度。

直角坐标系中的惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯-菲涅耳原理：

\[U(P_{0})=\frac{1}{\text{j}\lambda}\iint_{\Sigma}U(P_{1})\frac{\exp(\text{j}kr_{01})}{r_{01}}\cos\theta\mathrm{d}s\]

\[\cos \theta = \frac{z}{r_{01}}\]

因此

\[U(x,y)=\frac{z}{\text{j}\lambda}\iint_{\Sigma}U(\xi,\eta)\frac{\exp(\text{j}kr_{01})}{r_{01}^2}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta\]

\[r_{01}=\sqrt{z^2+\left(x-\xi\right)^2+\left(y-\eta\right)^2}\]

菲涅耳近似

将$r_{01}=\sqrt{z^2+\left(x-\xi\right)^2+\left(y-\eta\right)^2}$展开，保留到2阶：

\[r_{01}\approx z\left[1+\frac12\left(\frac{x-\xi}z\right)^2+\frac12\left(\frac{y-\eta}z\right)^2\right]\]

近似后得到 $U(x,y,z)$ \[U(x,y,z)=\frac{\mathrm{e}^{jkz}}{\mathrm{j}\lambda z}\iint_{-\infty}^{\infty}U(\xi,\eta,0)\exp\left\{\text{j}\frac{k}{2z}[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]\right\}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta \]

可表示为卷积形式： \[U(x,y,z)=\iint_{-\infty}^{\infty}U(\xi,\eta,0)h(x-\xi,y-\eta)\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta \] \[\begin{aligned}h(x,y)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}}{\mathrm{j}\lambda z}\exp\left[\frac{\mathrm{j}k}{2z}(x^2+y^2)\right]\end{aligned}\]

将$\exp\left[\frac{\text{j}k}{2z}(x^2+y^2)\right]$项提出积分外：

\[\begin{aligned} U(x,y,z)=& \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}}{\mathrm{j}\lambda z}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{k}{2z}(x^{2}+y^{2})}\iint_{-\infty}^{\infty}\left[U(\xi,\eta,0)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{k}{2z}(\xi^{2}+\eta^{2})}\right] \times\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta)}\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta \end{aligned}\]

可见，它是紧靠孔径右方复场$U(\xi,\eta,0)$的傅里叶变换。

上述表达式为菲涅耳衍射积分。

通过光线传递矩阵表示菲涅耳衍射

光线传递矩阵：

\[\begin{bmatrix}y_2\\\\\hat{\theta}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\\\\hat{\theta}_1\end{bmatrix}\]

光在穿过不是自由空间，而是有任意光线传递矩阵的系统时，相应的脉冲响应和衍射公式： \[h(y_2,y_1)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_0L_0}}{\sqrt{\mathrm{j}B\lambda_0}}\exp\left[\mathrm{j}\frac{\pi}{B\lambda_0}(Ay_1^2-2y_1y_2+Dy_2^2)\right]\] \[U_2(y_2)=\frac{\mathrm{e}^{\mathbf{j}k_0L_0}}{\sqrt{\mathbf{j}B\lambda_0}}\int_{-\infty}^\infty U_1(y_1)\exp\left[\frac{\mathbf{j}\pi}{B\lambda_0}(Ay_1^2-2y_1y_2+Dy_2^2)\right]\mathrm{d}y_1\]

夫琅禾费近似

更强的近似：夫琅禾费近似 \[z\gg\frac{k(\xi^2+\eta^2)_{\max}}2\]

则菲涅耳式中积分号下的二次相位因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{k}{2z}(\xi^{2}+\eta^{2})}$ 近似为1，则场强可由孔径上的场分布本身的傅里叶变换直接求出。

在夫琅禾费衍射区（远场内），

\[U(x,y,z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kz}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac k{2z}(x^2+y^2)}}{\mathrm{j}\lambda z}\iint_{-\infty}^\infty U(\xi,\eta,0)\mathrm{exp}\left[-\mathrm{j}\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta)\right]\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta \]

除了积分号前的相位因子外，这个式子简单地是孔径上的场分布的傅里叶变换。空间频率 \[f_X=\frac x{\lambda z} \\ \ \\ f_Y=\frac y{\lambda z}\]

夫琅禾费衍射图样

矩形孔

矩形孔径，振幅透射率为 \[t_\mathrm{A}(\xi,\eta)=\mathrm{rect}\left(\frac{\xi}{\ell_X}\right)\mathrm{rect}\left(\frac{\eta}{\ell_Y}\right)\]

若单位振幅的单色平面波垂直照射到孔径上，孔径上的场分布为$t_\mathrm{A}(\xi,\eta)$，则夫琅禾费图样为 $$U(x,y,z)={U(,,0)}|_{f_X=x/(z),f_Y=y/(z)} \ \ = \[\begin{aligned}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}}{\mathrm{j}\lambda z}A\text{sinc}\left(\frac{\ell_Xx}{\lambda z}\right)\text{sinc}\left(\frac{\ell_Yy}{\lambda z}\right)\end{aligned}\]

(A=_X_Y)$$

\[I(x,y,z)=\frac{A^2}{\lambda^2z^2}\mathrm{sinc}^2\left(\frac{\ell_Xx}{\lambda z}\right)\mathrm{sinc}^2\left(\frac{\ell_Yy}{\lambda z}\right)\]

圆形孔

孔径直径为$l$，孔径平面径向（极）坐标为$q$， \[t_\mathrm{A}(q)=\mathrm{circ}\left(2\frac{q}{\ell}\right)\]

圆对称性，可用傅里叶-贝塞尔变换： \[U(r,z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}}{\mathrm{j}\lambda z}\exp\left(\mathrm{j}\frac{kr^{2}}{2z}\right)\mathcal{B}\{U(q,0)\}\bigg|_{\rho=r/(\lambda z)} \\\ \\ q=\sqrt{\xi^2+\eta^2} \\\ \\ \begin{aligned}\rho=\sqrt{f_X^2+f_Y^2}\end{aligned}\]

\[\mathcal{B}\left\{\operatorname{circ}\left(2\frac q\ell\right)\right\}=A\left[2\frac{J_1(\pi\ell\rho)}{\pi\ell\rho}\right], \ A = \pi(\ell/2)^2\]

夫琅禾费图样中的振幅和强度分布为： \[U(r,z)=\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}\exp\left(\mathrm{j}\frac{kr^2}{2z}\right)\frac{A}{\mathrm{j}\lambda z}\left[2\frac{J_1k\ell r/(2z)}{k\ell r/(2z)}\right]\]

\[I(r,z)=\left(\frac A{\lambda z}\right)^2\biggl[2\frac{J_1k\ell r/(2z)}{k\ell r/(2z)}\biggr]^2\]

沿着$x$轴或$y$轴测量，中央瓣宽度为$d = 1.22\frac{\lambda z}{\ell}$

薄正弦振幅光栅

按照定义，透射率$t_\mathrm{A}(\xi,\eta)$为紧贴屏幕后的场的复振幅与入射到屏幕上的复振幅的比值。考虑薄正弦振幅光栅，其透射函数如下（假设光栅结构被限制在宽度为$\ell$的正方形孔径内）： \[t_\mathrm{A}(\xi,\eta)=\left[\frac12+\frac m2\cos(2\pi f_0\xi)\right]\text{rect}\left(\frac\xi\ell\right)\text{rect}\left(\frac\eta\ell\right)\]

单位振幅的单色平面波垂直照明，孔径透射场分布为$t_A$

\[\begin{aligned}\mathcal{F}\left\{\frac{1}{2}+\frac{m}{2}\cos(2\pi f_0\xi)\right\}=&\frac{1}{2}\delta(f_X,f_Y)+\frac{m}{4}\delta(f_X+f_0,f_Y)\\&+\frac{m}{4}\delta(f_X-f_0,f_Y)\end{aligned}\] \[\mathcal{F}\left\{\mathrm{rect}\left(\frac\xi\ell\right)\mathrm{rect}\left(\frac\eta\ell\right)\right\}=A\mathrm{~sinc}(\ell f_X)\mathrm{sinc}(\ell f_Y)\] 利用卷积定理求出 \[\begin{gathered} \mathcal{F}\{U(\xi,\eta,0)\}= \frac A2\text{sinc}(\ell f_Y)\left\{\text{sinc}(\ell f_X)+\frac m2\text{sinc}[\ell(f_X+f_0)]\right. \left.+\frac m2\mathrm{sinc}[\ell(f_X-f_0)]\right\} \end{gathered}\]

夫琅禾费衍射图样： \[\begin{aligned} U(x,y,z)=& \frac{A}{\text{j}2\lambda z}\mathrm{e}^{\mathbf{j}kz}\mathrm{e}^{\mathbf{j}\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}\mathrm{sinc}\left(\frac{\ell y}{\lambda z}\right)\left\{\mathrm{sinc}\left(\frac{\ell x}{\lambda z}\right)\right. \\ & \left.+\frac{m}{2}\text{sinc}\left[\frac{\ell}{\lambda z}(x+f_0\lambda z)\right]+\frac{m}{2}\text{sinc}\left[\frac{\ell}{\lambda z}(x-f_0\lambda z)\right]\right\} \end{aligned}\]

若孔径内有许多光栅周期，则$f_{0}\gg1/\ell$，可以忽略三个 $\text{sinc}$ 函数的相互重叠，得出强度： \[\begin{aligned} I(x,y,z)& \begin{aligned}\approx&\left[\frac{A}{2\lambda z}\right]^2\text{sinc}^2\left(\frac{\ell y}{\lambda z}\right)\left\{\text{sinc}^2\left(\frac{\ell x}{\lambda z}\right)\right.\end{aligned} \\ &\left.+\frac{m^{2}}{4}\mathrm{sinc}^{2}\left[\frac{\ell}{\lambda z}(x+f_{0}\lambda z)\right]+\frac{m^{2}}{4}\mathrm{sinc}^{2}\left[\frac{\ell}{\lambda z}(x-f_{0}\lambda z)\right]\right\} \end{aligned}\]

光栅的衍射效率：入射光功率有多少份额出现在光栅的某个单一的衍射级（通常是+1级），可由$\delta$函数的系数求平方得出： \[\begin{aligned} &\eta_{0}=0.25, \\ &\eta_{+1}=m^{2}/16, \\ &\eta_{-1}=m^{2}/16. \end{aligned}\]

+1级至多携带入射功率的$1/16 = 6.25\%$，前三级效率加起来只有$1/4+m^2/8$，别的都被光栅吸收而损失了。

（相当于把入射光集中到中央级？）

薄正弦相位光栅

\[t_\mathrm{A}(\xi,\eta)=\exp\left[\text{j}\frac{m}{2}\sin(2\pi f_0\xi)\right]\text{rect}\left(\frac{\xi}{\ell}\right)\text{rect}\left(\frac{\eta}{\ell}\right)\]

利用恒等式 \[\exp\left[\text{j}\frac{m}{2}\sin(2\pi f_{0}\xi)\right]=\sum_{q=-\infty}^{\infty}J_{q}\left(\frac{m}{2}\right)\exp(\text{j}2\pi qf_{0}\xi) \] 简化分析，进行傅里叶展开 \[\mathcal{F}\left\{\exp\left[\mathrm{j}\frac{m}{2}\sin(2\pi f_0\xi)\right]\right\}=\sum_{q=-\infty}^\infty J_q\left(\frac{m}{2}\right)\delta(f_X-qf_0,f_Y) \tag{1}\] 有 \[\begin{aligned} \mathcal{F}\{U(\xi,\eta,0)\}& =\mathcal{F}\{t_{\mathrm{A}}(\xi,\eta)\} \\ &=[A\mathrm{sinc}(\ell f_X)\mathrm{sinc}(\ell f_Y)]*\left[\sum_{q=-\infty}^\infty J_q\left(\frac m2\right)\delta(f_X-qf_0,f_Y)\right] \\ &=\sum_{q=-\infty}^\infty AJ_q\left(\frac m2\right)\text{sinc}[\ell(f_X-qf_0)]\text{sinc}(\ell f_Y) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}U(x,y,z)=&\frac{A}{\mathrm{j}\lambda z}\mathrm{e}^{\mathrm{j}kz}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}\\\times&\sum_{q=-\infty}^{\infty}J_q\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{sinc}\left[\frac{\ell}{\lambda z}(x-qf_0\lambda z)\right]\mathrm{sinc}\left(\frac{\ell y}{\lambda z}\right)\end{aligned}\]

假设孔径内有光栅的多个周期（$f_0\gg1/\ell$），则可以忽略不同级的重叠，得到强度： \[I(x,y,z)\approx\left(\frac{A}{\lambda z}\right)^2\sum_{q=-\infty}^\infty J_q^2\left(\frac{m}2\right)\operatorname{sinc}^2\left[\frac{\ell}{\lambda z}(x-qf_0\lambda z)\right]\operatorname{sinc}^2\left(\frac{\ell y}{\lambda z}\right)\]

从而，正弦相位光栅的引入将能量从零级衍射偏转到许多更高级衍射上去，$q$级衍射的强度为$[AJ_q(m/2)/(\lambda z)]^2$，这一级距离衍射图样中心的距离为$qf_0\lambda z$

式$(1)$中系数平方为薄正弦相位光栅的衍射效率：

\[\eta_{q}=J_{q}^{2}(m/2)\]

到达+1或-1级的最大衍射效率为$J_1^2$的极大值，为$33.8\%$，远高于正弦振幅光栅；

光栅不吸收光功率，因此出现在各级上的功率之和为常数，等于孔径内的入射功率

计算光栅衍射效率的一般方法

用周期函数$P(x)$表示光栅的振幅透射率（假设在y方向上是均匀的），将$P(x)$展开为傅里叶级数 \[P(x)=\sum_{q=-\infty}^{\infty}c_q\mathrm{e}^{\mathrm{j}2\pi qx/L}\] \[c_q=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}P(x)\mathrm{e}^{-\text{j}2\pi qx/L}\mathrm{d}x\] 其中$L$为光栅周期，于是$q$级衍射效率为 \[\eta_q = |c_q|^2\]

从而可以计算任意薄光栅的各级衍射效率。

菲涅尔衍射计算

塔尔博特像

正弦振幅光栅，忽略光栅的有限大小： \[t_\mathrm{A}(\xi,\eta)=\frac12[1+m\cos(2\pi\xi/L)]\]

对透射函数作傅里叶变换： \[\mathcal{F}\{t_\mathrm{A}(\xi,\eta)\}=\frac12\delta(f_X,f_Y)+\frac m4\delta\left(f_X-\frac1L,f_Y\right)+\frac m4\delta\left(f_X+\frac1L,f_Y\right)\]

经过化简， \[U(x,y,z)=\frac12\left[1+m\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\pi\lambda z}{L^2}}\cos\left(\frac{2\pi x}L\right)\right]\] \[\begin{aligned}I(x,y,z)&=\frac14\left[1+2m\cos\left(\frac{\pi\lambda z}{L^2}\right)\cos\left(\frac{2\pi x}L\right)+m^2\cos^2\left(\frac{2\pi x}L\right)\right]\end{aligned}\]

三类塔尔博特像： 1. $\pi\lambda z/L^2=2n\pi\text{ 或 }z=2nL^2/\lambda$ 时 \[I\left(x,y,\frac{2nL^2}\lambda\right)=\frac14\left[1+m\cos\left(\frac{2\pi x}L\right)\right]^2\]

为光栅的一个理想的像，即紧贴光栅之后观察到的强度的精确复制。

$\pi\lambda z/L^2=(2n+1)\pi\text{ 或 }z=(2n+1)L^2/\lambda$ \[I\left(x,y,\frac{(2n+1)L^2}\lambda\right)=\frac14\bigg[1-m\cos\left(\frac{2\pi x}L\right)\bigg]^2\]

光栅的像的180°相位相移，或等价地对比度反转。
$\pi\lambda z/L^2=(2n+\frac 12)\pi~\text{或 }z=\left(2n+\frac12\right)L^2/\lambda$ \[\begin{aligned} \begin{aligned}I\left(x,y,\frac{\left(n-\frac{1}{2}\right)L^2}{\lambda}\right)\end{aligned}& =\frac14\left[1+m^2\cos^2\left(\frac{2\pi x}L\right)\right] \\ &=\frac14\left[\left(1+\frac{m^2}2\right)+\frac{m^2}2\cos\left(\frac{4\pi x}L\right)\right] \end{aligned}\]

像的频率加倍，但对比度减小。

波束光学

高斯光束
厄米-高斯光束
拉盖尔-高斯光束
贝塞尔光束

计算衍射和计算传播

有些衍射孔径不能用于衍射公式给出闭合形式的解析解，为确定衍射图样，需要依靠数值计算，传播方程的离散形式来讨论光场通过光学系统的传播：包括对孔径函数$U(x,y,0)$进行密集抽样、将抽样值适当补零、对连续运算进行离散模拟。

对空间置限的二次相位指数函数的抽样

二次相位指数函数 \[f(x)=\frac1{\sqrt{\lambda z}}\exp\left[\text{j}\frac\pi{\lambda z}x^2\right]\] 和它的二维等价物$f(x)f(y)$频繁地出现在衍射问题中，需要对这个函数抽样。

对函数作傅里叶变换， \[F(f_X)=\frac{1}{\sqrt{\lambda z}}\int_{-\ell/2}^{\ell/2}\exp\left(\mathrm{j}\pi\frac{x^2}{\lambda z}\right)\exp(-\mathrm{j}2\pi xf_X)\mathrm{d}x\]

然后用数值积分求这个结果的大小的模平方的等价带宽 \[B_X=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}|F(f_X)|^2\mathrm{d}f_X}{|F(0)|^2}\] 结果是菲涅尔数$\begin{aligned}N_\mathrm{F}=(\ell/2)^2/(\lambda z)\end{aligned}$的函数：

带宽在$N_F = 0.25$两侧趋势不同，渐近线分别为

右侧 \[\sqrt{\lambda z}B_X=\sqrt{4N_{F}}\quad\text{或}\quad B_X=\frac\ell{\lambda z}\]

左侧 \[\sqrt{\lambda z}B_X=\frac{1}{\sqrt{4N_\mathrm{F}}}\quad\text{或}\quad B_X=\frac{1}{\ell}\]

考虑到实际空间频率的占有率分布，避免混叠，改为$B_X= M/\ell$，$M$足够大

样本间隔$\Delta x \leq 1/B_X$

$N_F > 0.25$时，抽样元素个数 \[K=\ell/\Delta x>\frac{\ell^2}{\lambda z}=4N_\mathrm{F}\]

$N_F < 0.25$时， \[K=\ell/\Delta x>M\]

计算衍射的几种方法

卷积法
菲涅尔变换法
菲涅尔传递函数法
精确传递函数法

相干光学系统的波动光学分析

透镜

薄透镜作为相位变换器

薄透镜：光线在透镜一面上(x,y)点射入，在另一面上从近似相同的坐标射出，忽略光线在透镜内部的侧向平移。

波在(x,y)点穿过透镜发生的总相位延迟为 \[\begin{aligned}\phi(x,y)=kn\Delta(x,y)+k[\Delta_0-\Delta(x,y)]\end{aligned}\] 透镜的作用可用相位变换表示： \[t_l(x,y)=\exp[\text{j}k\Delta_0]\exp[\text{j}k(n-1)\Delta(x,y)]\] \[U_l^{\prime}(x,y)=t_l(x,y)U_l(x,y)\]

厚度函数

把厚度分成三部分： \[\Delta(x,y)=\Delta_1(x,y)+\Delta_2(x,y)+\Delta_3(x,y)\]

利用几何关系， \[\Delta(x,y)=\Delta_0-R_1\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R_1^2}}\right)+R_2\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R_2^2}}\right)\]

傍轴近似

傍轴光束：x、y值足够小

\[\begin{aligned}\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R_1^2}}&\approx1-\frac{x^2+y^2}{2R_1^2},\\\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R_2^2}}&\approx1-\frac{x^2+y^2}{2R_2^2}.\end{aligned}\]

相当于用抛物面（二次相位曲面）近似透镜的球面。在这样的近似下， \[\Delta(x,y)=\Delta_0-\frac{x^2+y^2}2\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\]

相位变换及其物理意义

近似后， \[t_l(x,y)=\exp[\text{j}kn\Delta_0]\exp\left[-\text{j}k(n-1)\frac{x^2+y^2}2\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\right]\]

定义$f$， \[\frac1f\equiv(n-1)\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\]

忽略常数相位因子，相位变换可改写为 \[t_l(x,y)=\exp\left[-\text{j}\frac{k}{2f}(x^2+y^2)\right]=\exp\left[-\text{j}\frac{\pi}{\lambda f}(x^2+y^2)\right]\]

此为薄透镜对入射光效应的基本表示式（忽略了透镜的有限大小）

$f$采取的符号规则可表示任意透镜：上三个为正，后三个为负

利用薄透镜的光线传递矩阵，假设透镜前后材料折射率为1 \[\mathbf{M}=\begin{bmatrix}1&0\\\\-1/f&1\end{bmatrix}\]

入射波 \[\vec{v}_1=\begin{bmatrix}y\\\\0\end{bmatrix}\]

透射波 \[\left.\vec{v_2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\-1/f&1\end{array}\right.\right]\begin{bmatrix}y\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y\\-y/f\end{bmatrix}\]

则光线角度$\theta_2 = -y/f$，波的局域空间频率 \[f^{(l)}(y)=\frac{\theta_2}{\lambda}=-\frac{y}{\lambda f}\] \[(\theta_2 ≈ \mathrm{sin}\theta_2)\]

由于局域空间频率对$y$有一次线性关系，对其瞬时积分，透射波与入射波复振幅之比 \[t_l(y)=\exp\left[-\text{j}\frac{\pi}{\lambda f}y^2\right]\]

回到二维，若透镜前的场分布$U_l$等于1，透镜后的场 \[U_l'(x,y)=\exp\left[-\text{j}\frac{k}{2f}(x^2+y^2)\right]\] 可以理解为对球面波的二次相位近似。 - 若焦距为正，则球面波向透镜轴后侧$f$处会聚，正透镜； - 若焦距为负，则球面波从透镜轴前$f$处散开，负透镜。

相差

将入射的平面波映射为球面波的结论，很大程度上依赖傍轴近似。在非傍轴条件下，理想球面的透镜会使出射波前产生像差；

往往把透镜表面磨成非球面形状，减少出射波前对球面的偏离，从而校正像差